解:(1)令x
1=1,x
2=0,則f(1+0)≥f(1)+f(0),∴f(0)≤0,
又∵于任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0,∴f(0)≥0,
∴f(0)=0
(2)任取0≤x
1<x
2≤1,可知x
2-x
1∈(0,1],則f(x
2)-f(x
1)≥f(x
2-x
1)≥0
故f(x
2)≥f(x
1),∴定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)為增函數(shù),
于是當(dāng)0≤x≤1時,有f(x)≤f(1)=1,
故當(dāng)x=1時,f(x)有最大值1.
(3)證明:當(dāng)x∈(
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,1]時,由(2)知f(x)≤1,而2x>2×
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=1
∴f(x)<2x
當(dāng)x∈[0,
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]時,2x≤1,f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),
∴f(x)≤
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f(2x)
分析:(1)利用賦值法,令x
1=1,x
2=0,利用函數(shù)性質(zhì)③即可求得f(0)的值;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,任取0≤x
1<x
2≤1,利用性質(zhì)③和①證明f(x
2)≥f(x
1),從而證明函數(shù)在定義域上為增函數(shù),利用單調(diào)性求函數(shù)的最值即可;
(3)利用結(jié)論(2)即可證明當(dāng)x∈(
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,1]時,f(x)<2x,利用函數(shù)性質(zhì)③即可證明當(dāng)x∈[0,
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]時,f(x)≤
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f(2x).
點(diǎn)評:本題綜合考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映的函數(shù)性質(zhì),及利用抽象表達(dá)式求值、證明的方法,恰當(dāng)?shù)睦煤瘮?shù)性質(zhì)進(jìn)行變形和放縮是解決本題的關(guān)鍵