過點P（4，2）作相互垂直的直線l1和l2，使得l1與x軸的正半軸相交于點A，l2與y軸的正半軸相交于點B，若直線AB平分四邊形OAPB的面積，求直線AB的方程．

解：由題意，設A（a，0）、B（0，b）．則直線AB方程為（a＞0，b＞0），
∵，PA⊥PB，∴×=-1，化簡得b=10-2a．
∵b＞0，∴0＜a＜5．直線AB的一般式方程為bx+ay-ab=0
∴點P（4，2）到直線AB的距離為d1=．
又∵原點O到直線AB的距離為d2=，
∵四邊形OAPB的面積被直線AB平分，∴d1=d2，
∴4b+2a-ab=±ab，又∵b=10-2a．
解得或，
∴所求直線AB的方程為x+2y-4=0或2x+y-5=0．
分析：設A（a，0）、B（0，b）．得到直線AB，由題知PA⊥PB即直線MA與直線MB的斜率乘積為-1，得到a與b的關系式；又因為四邊形OAPB的面積被直線AB平分得到M到直線AB與O到直線AB的距離相等得到a與b的關系式，兩者聯(lián)立求出a和b即可得到直線AB的方程．
點評：本題考查學生理解兩直線垂直的能力，靈活運用點到直線距離公式的是解決問題的關鍵，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C1：x2+y2+D1x+8y-8=0，圓C2：x2+y2+D2x-4y-2=0．
（1）若D1=2，D2=-4，求圓C1與圓C2的公共弦所在的直線l1的方程；
（2）在（1）的條件下，已知P（-3，m）是直線l1上一點，過點P分別作直線與圓C1、圓C2相切，切點為A、B，求證：|PA|=|PB|；
（3）將圓C1、圓C2的方程相減得一直線l2：（D1-D2）x+12y-6=0．Q是直線l2上，且在圓C1、圓C2外部的任意一點．過點Q分別作直線QM、QN與圓C1、圓C2相切，切點為M、N，試探究|QM|與|QN|的關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：x2+（y-4）2=1，直線l：3x+4y-6=0：
（1）圓C與直線l的位置關系為
相離
相離
；
（2）當點P在直線l：3x+4y-6=0上運動時，過點P作圓C的切線，切點為A、B，記四邊形PACB的面積是f（p）．則f（p）的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（理）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0=5，試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線段AB中點的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：湖南省期中題 題型：解答題

拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在y軸的負半軸上，過點M（0，-2）作直線l與拋物線C交于A，B兩點，且滿足=（-4，-12）。
（1）求直線l和拋物線C的方程；
（2）當拋物線C上一動點P從點A向點B運動時，求△ABP的面積的最大值；
（3）在拋物線C上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，請說明理由。

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