Question

已知在與處都取得極值.

（1）求，的值；

（2）設函數，若對任意的，總存在，使得：，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據條件，可得，由在與處都取得極值，可知，故可建立關于的二元一次方程組，從而解得，此時，需要代回檢驗是否確實是的極值點，經檢驗符合題意，從而；（2）由（1）可得由（1）知：函數在上遞減，

∴ ，因此問題就等價于求使當時，恒成立的的取值范圍，而二次函數圖像的對稱軸是，因此需對的取值作出以下三種情況的分類討論：①：；②：；③，分別用含的代數式表示上述三種情況下的最小值表示出來，從而可以建立關于的不等式，進而求得的取值范圍為.

試題解析：（1）∵，∴ 1分

∵在與處都取得極值，

∴，∴ 4分

經檢驗，當時，，

∴函數在與處都取得極值，∴ 6分；

（2）由（1）知：函數在上遞減，

∴ 8分

又 ∵函數圖象的對稱軸是，

①：當時：，顯然有成立， ∴ ，

②：當時：，∴， 解得：，

又∵ ，∴.

③：當時：，∴ ， ∴， 又，∴

綜上所述： 12分，

∴實數的取值范圍為 13分.

考點：1.導數的運用；2.二次函數與恒成立問題.