Question

棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為DD₁的中點(diǎn)，O₁、O₂、O₃分別為平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心．
（1）求PO₂的長．
（2）求證：B₁O₃⊥PA；
（3）求異面直線PO₃與O₁O₂所成的角．

Answer 1

【答案】分析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）由模的公式得PO₂的長．
（2）分別寫出兩條直線所在的向量，再根據(jù)可得B₁O₃⊥PA．
（3）寫出兩條直線所在的向量，再利用向量的運(yùn)算關(guān)系求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩條直線的夾角．
解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則…（2分）
則有B₁（1，1，1，），O₃（，0），P（0，0，），A（1，0，0），O₁（，1），O₂（），
于是，…（4分）
（1）由模的公式得：，
即PO₂的長為…（6分）
（2）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184503042398464/SYS201310241845030423984019_DA/9.png">，
所以，即B₁O₃⊥PA．
（3）因?yàn)镺₁（，1），O₂（），
所以，，…（9分）
所以cos==…（11分）
∴異面直線PO3與O1O3所成角的大小arccos．…（12分）
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)而距離空間直角坐標(biāo)系，再利用向量之間的運(yùn)算關(guān)系求線段的長度，以及證明線線垂直與求異面直線的夾角等問題．