【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)
處的切線方程為
,求
的值;
(2)若的導(dǎo)函數(shù)
存在兩個不相等的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時,是否存在整數(shù)
,使得關(guān)于
的不等式
恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,最大值為
.
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
,由題意得出
從而可求出實(shí)數(shù)
的值;
(2)令,可得知函數(shù)
在
上有兩個零點(diǎn),分
和
兩種情況討論,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)
在區(qū)間
上的單調(diào)性和極值,由題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)
極值相關(guān)的不等式,解出即可得出實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)將代入函數(shù)
的解析式得出
,對該函數(shù)求導(dǎo)得出
,構(gòu)造函數(shù)
,利用單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理找出函數(shù)
的極小值點(diǎn)
,并滿足
,結(jié)合此關(guān)系式計(jì)算得出
,從而可得出整數(shù)
的最大值.
(1),
因?yàn)榍在點(diǎn)
處的切線方程為
,
所以,得
;
(2)因?yàn)?/span>存在兩個不相等的零點(diǎn).
所以存在兩個不相等的零點(diǎn),則
.
①當(dāng)時,
,所以
單調(diào)遞增,至多有一個零點(diǎn)
②當(dāng)時,因?yàn)楫?dāng)
時,
,
單調(diào)遞增,
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減,
所以時,
.
因?yàn)?/span>存在兩個零點(diǎn),所以
,解得
.
因?yàn)?/span>,所以
.
因?yàn)?/span>,所以
在
上存在一個零點(diǎn).
因?yàn)?/span>,所以
.
因?yàn)?/span>,設(shè)
,則
,
因?yàn)?/span>,所以
單調(diào)遞減,
所以,所以
,
所以在
上存在一個零點(diǎn).
綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍為
;
(3)當(dāng)時,
,
,
設(shè),則
.所以
單調(diào)遞增,
且,
,所以存在
使得
,
因?yàn)楫?dāng)時,
,即
,所以
單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
,即
,所以
單調(diào)遞增,
所以時,
取得極小值,也是最小值,
此時,
因?yàn)?/span>,所以
,
因?yàn)?/span>,且
為整數(shù),所以
,即
的最大值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起,得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)證明:BE⊥平面D1AE;
(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,設(shè)橢圓兩頂點(diǎn)
,短軸長為4,焦距為2,過點(diǎn)
的直線
與橢圓交于
兩點(diǎn).設(shè)直線
與直線
交于點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求線段中點(diǎn)
的軌跡方程;
(3)求證:點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg ,f(1)=0,當(dāng)x>0時,恒有f(x)
=lgx.
(1)若不等式f(x)≤lgt的解集為A,且A(0,4],求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集為,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,橢圓
:
,點(diǎn)
在橢圓
上,過點(diǎn)
作圓
的切線,其切線長為橢圓
的短軸長.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線與橢圓
的另一個交點(diǎn)為
,點(diǎn)
在橢圓
上,且
,直線
與
軸交于
點(diǎn).設(shè)直線
,
的斜率分別為
,
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“總把新桃換舊符”(王安石)、“燈前小草寫桃符”(陸游),春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日,在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍,而現(xiàn)代人們通過貼“福”字、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對新年的美好祝愿,某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動,顧客凡購物金額滿50元,則可以從“!弊帧⒋郝(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件,若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品,則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)對任意的
滿足:
,當(dāng)
時,
(1)求出函數(shù)在R上零點(diǎn);
(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)
的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率為
,點(diǎn)A為該橢圓的左頂點(diǎn),過右焦點(diǎn)
的直線l與橢圓交于B,C兩點(diǎn),當(dāng)
軸時,三角形ABC的面積為18.
求橢圓
的方程;
如圖,當(dāng)動直線BC斜率存在且不為0時,直線
分別交直線AB,AC于點(diǎn)M、N,問x軸上是否存在點(diǎn)P,使得
,若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在說明理由.
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