Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定直線l：x=-

3

2

的距離比到定點(diǎn)（

1

2

，0）的距離多1，
（I）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）設(shè)A（a，0）（a∈R），求曲線C上點(diǎn)P到點(diǎn)A距離的最小值d（a）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由動(dòng)點(diǎn)M到定直線l：x=-

3

2

的距離比到定點(diǎn)（

1

2

，0）的距離多1，得到點(diǎn)M與定點(diǎn)（

1

2

，0）的距離等于它到直線x=-

1

2

的距離，然后直接由拋物線的定義得方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線上的點(diǎn)P（

y2

2

，y），由兩點(diǎn)間的距離公式寫出|PA|²，換元后利用二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置討論得到曲線C上點(diǎn)P到點(diǎn)A距離的最小值d（a）．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
由已知條件可知，點(diǎn)M與定點(diǎn)（

1

2

，0）的距離等于它到直線x=-

1

2

的距離．
根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以定點(diǎn)（

1

2

，0）為焦點(diǎn)的拋物線．
因?yàn)?span id="5pqnvh5" class="MathJye">

p

2

=

1

2

，所以p=1．即點(diǎn)M的軌跡方程為y²=2x；
（2）設(shè)拋物線上的點(diǎn)P（

y2

2

，y），y∈R．則
|PA|2=(

y2

2

-a)2+(y-0)2，整理得：
|PA|2=

y4

4

+(1-a)y2+a2．
令y²=t≥0，有：|PA|2=

t2

4

+(1-a)t+a2，（t≥0）
關(guān)于t的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：t₀=2（a-1）．對(duì)對(duì)稱軸位置作分類討論如下：
①2（a-1）≤0時(shí)，a≤1，即t=1時(shí)，|PA|min2=a2，d（a）=|a|；
②2（a-1）＞0時(shí)，a＞1，即t=2（a-1）時(shí)，|PA|min2=2a-1，d（a）=

2a-1

．
所以d（a）=

|a|，a≤1 2a-1 ，a＞1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸位置討論二次函數(shù)最值的求法，是有一定難度題目．