如圖,橢圓的頂點為
,焦點為
,
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)n 為過原點的直線,是與n垂直相交于P點,與橢圓相交于A, B兩點的直線,
.是否存在上述直線
使
成立?若存在,求出直線
的方程;并說出;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ)使
成立的直線
不存在.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由知a2+b2=7, ①
由知a=2c, ②
又b2=a2-c2 ③
由 ①,②,③解得a2=4,b2=3,
故橢圓C的方程為
(Ⅱ) 設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為
假設(shè)使成立的直線l存在,
(i) 當(dāng)l不垂直于x軸時,設(shè)l的方程為,
由l與n垂直相交于P點且得
,即m2=k2+1
由得x1x2+y1y2=0
將y=kx+m代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,
由求根公式可得x1+x2= ④
x1+x2= ⑤
將④,⑤代入上式并化簡得 ⑥
將代入⑥并化簡得
,矛盾.
即此時直線不存在.
(ii)當(dāng)垂直于
軸時,滿足
的直線
的方程為
,
則A,B兩點的坐標(biāo)為或
當(dāng)時,
當(dāng)時,
∴ 此時直線也不存在.
綜上可知,使成立的直線
不存在.
考點:本題考查了橢圓方程的求法及直線與橢圓的位置關(guān)系
點評:橢圓的概念和性質(zhì),仍將是今后命題的熱點,定值、最值、范圍問題將有所加強;利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題,其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點;與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點、熱點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆四川省高一3月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,橢圓的頂點為
,焦點為
,
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 設(shè)n 為過原點的直線,是與n垂直相交于P點,與橢圓相交于A, B兩點的直線,
.是否存在上述直線
使
成立?若存在,求出直線
的方程;并說出;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年黑龍江省高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,橢圓的頂點為
焦點為
S□ = 2S□
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)n 為過原點的直線,是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A,B兩點的直線,
,
是否存在上述直線使
成立?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年黑龍江省五大連池市”五校聯(lián)誼”高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,橢圓的頂點為
焦點為
S□ = 2S□
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)n 為過原點的直線,是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A,B兩點的直線,
,是否存在上述直線
使
成立?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(陜西卷)文科數(shù)學(xué)全解全析 題型:解答題
(本小題滿分13分)
如圖,橢圓的頂點為
,焦點為
,
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)n 為過原點的直線,是與n垂直相交于P點,與橢圓相交于A, B兩點的直線,
.是否存在上述直線
使
成立?若存在,求出直線
的方程;并說出;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆福建省高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,橢圓的頂點為
焦點為
S□
= 2S□
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過P(1,1),且與橢圓相交于A,B兩點,當(dāng)P是AB的中點時,求直線
的方程.
(Ⅲ)設(shè)n為過原點的直線,是與n垂直相交于P點、與
橢圓相交于A,B兩點的直線,,是否存在上述直線
使以AB為直徑的圓過原點?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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