Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-(a-1)x2+b2x，其中a，b為常數．
（1）當a=6，b=3時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函數f（x）在R上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（1）將a=6，b=3代入，我們易求出函數的解析式，求出函數的導函數后，令導函數的函數值大于等于0，由此構造關于x的不等式，解不等式即可得到函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）這是一個幾何概型問題，我們可以先畫出a∈[0，4]，b∈[0，3]，對應的平面區(qū)域的面積，然后再求出滿足條件函數f（x）在R上是增函數時對應的平面區(qū)域的面積，計算出對應的面積后，代入幾何概型公式即可得到答案．

解答：解：（1）當a=6，b=3時，f(x)=

1

3

x3-5x2+9x，f'（x）=x²-10x+9
令f'（x）=x²-10x+9≥0，（x-1）（x-9）≥0，解得x≤1或x≥9，
故函數f（x）的單調遞增區(qū)間分別為（-∞，1]和[9，+∞）
（2）f'（x）=x²-2（a-1）x+b²
若函數f（x）在R上是增函數，則對于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4（a-1）²-4b²≤0，即（a+b-1）（a-b-1）≤0
設“f（x）在R上是增函數”為事件A，則事件A對應的區(qū)域為（a，b）|（a+b-1）（a-b-1）≤0
全部試驗結果構成的區(qū)域Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，如圖．
所以，P(A)=

S陰影

SΩ

=

3×4- 1 2 ×1×1- 1 2 ×3×3

3×4

=

7

12

故函數f（x）在R上是增函數的概率為

7

12

．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，幾何概型及概率的應用，其中利用導函數大于等于0，則函數在該區(qū)間上單調遞增，是解答本題的關鍵．