Question

已知x∈R,求證：cosx≥1-.

Answer 1

思路分析：本題主要考查把不等式轉(zhuǎn)化成判斷函數(shù)的單調(diào)性，在解此題時，可以先構(gòu)造一個函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

證明：令f(x)=cosx-1+,則f′(x)=x-sinx.

當x＞0時,由單位圓中的正弦線知必有x＞sinx,

∴f′(x)＞0,

即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

又∵f(0)=0,且f(x)連續(xù),

∴f(x)在區(qū)間［0,+∞］內(nèi)的最小值 f(0)=0,

即f(x)≥0,得cosx-1+≥0,

即cosx≥1.∵f(-x)=cos(-x)-1+=f(x),

∴f(x)為偶函數(shù),

即當x∈(-∞,0)時,f(x)≥0仍成立.

∴對任意的x∈R,都有cosx≥1.