已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1(a＞1)的上頂點為A，左右焦點分別為F1、F2，直線AF2與圓M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓C內(nèi)的動點P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比數(shù)列（O為坐標原點，）求
PF1
•
PF2
的取值范圍．
分析：（Ⅰ）先求出圓的標準方程以及直線AF2與的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求出對應(yīng)的橢圓的方程；
（Ⅱ）先利用|PF1|，|PO|，|PF2|成等比數(shù)列求出點P的坐標滿足的等量關(guān)系，再代入
PF1
•
PF2
借助于點P在橢圓內(nèi)就可求出
PF1
•
PF2
的取值范圍．
解答：解：（1）將圓M：x2+y2-6x-2y+7=0化為標準方程（x-3）2+（y-1）2=3，
圓M的圓心為M（3，1），半徑為r=
3
，（2分）
由A(0，1)，F2(c，0)，(c=
a2-1
)得直線AF2：
x
c
+y=1，即x+cy-c=0（3分）
直線AF2與圓M：相切得
|3+c-c|
c2+1
=
3
，c=
2
，c=-
2
（舍去）（5分）
當c=
2
時，a2=c2+1=3，故橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1（6分）
（2）由（1）得，F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)，設(shè)P（x，y），
由題意得|PO|2=|PF1||PF2|，即(
x2+y2
)2=
(x+
2
) 2+y2
•
(x-
2
)2+y2

化簡得：x2-y2=1   （9分）
PF1
•
PF2
=x2-2+y2=2x2-3（10分）
∵點P為橢圓內(nèi)的動點，∴1≤x2＜
3
2
（12分）
∴-1≤
PF1
•
PF2
＜0（13分）
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對應(yīng)方程的判別式為0求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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