Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

4

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

4

]時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得-

2

≤f（x）≤1，從而得到f（x）的值域．

解答：解：（I）由題意可得f(x)=1+2sinxcosx+2cos2x-2=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（II）當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

4

]時(shí)，

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

，
-1≤sin（2x+

π

4

）≤

2

2

，
∴-

2

≤f（x）≤1，
故當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

4

]時(shí)，求f（x）的最大值為1，最小值為-

2

，值域?yàn)閇-

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要二倍角公式、兩角和差的三角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．