Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)在同一半周期內(nèi)的圖象過點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，為函數(shù)的圖象與軸的正半軸的交點(diǎn).

（Ⅰ）求證：為等腰直角三角形.

（Ⅱ）將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，得到，若點(diǎn)恰好落在曲線上（如圖所示），試判斷點(diǎn)是否也落在曲線上，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）點(diǎn)不落在曲線上.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以函數(shù)的半周期為4，故． 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806051979698940/SYS201504080605367195138203_DA/SYS201504080605367195138203_DA.008.png">為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，故，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806051979698940/SYS201504080605367195138203_DA/SYS201504080605367195138203_DA.013.png">坐標(biāo)為，所以，根據(jù)勾股定理，即可證明為等腰直角三角形. （Ⅱ）

由（Ⅰ）知，，所以點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,

， 因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所，根據(jù)角的范圍，化簡可得，所以點(diǎn)不落在曲線上．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期， 1分

所以函數(shù)的半周期為4，

故． 2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806051979698940/SYS201504080605367195138203_DA/SYS201504080605367195138203_DA.008.png">為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為，故， 3分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806051979698940/SYS201504080605367195138203_DA/SYS201504080605367195138203_DA.013.png">坐標(biāo)為，所以，

所以且，所以為等腰直角三角形. 5分

（Ⅱ）點(diǎn)不落在曲線上. 6分

理由如下：

由（Ⅰ）知，，

所以點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,， 8分

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，

所以，

即，又，所以. 10分

又.

所以點(diǎn)不落在曲線上． 12分

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義；2.二倍角公式.