Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，DF∥CE，DF⊥DC，且DF=2AD=2CE，AF=

3

AD．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）求證：AF⊥平面ABCD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取DF的中點G，連接GE，AG，先通過證明四邊形ABEG為平行四邊形，推斷出BE∥AG，進而根據(jù)線面平行的判定定理證明出BE∥平面ADF．
（Ⅱ）利用線面垂直的判定定理證明出CD⊥平面ADF，進而可證明出CD⊥FA，然后通過勾股定理證明出DF⊥AD，最后利用線面平行的判定定理證明出AF⊥平面ABCD．

解答： 證明：（Ⅰ）取DF的中點G，連接GE，AG，
∵CE=

1

2

DF，DG=

1

2

DF，DF∥CE，
∴CE∥DG且CE=DG，
∴四邊形ABEG為平行四邊形，
∴BE∥AG，
∵AG?平面ADF，BE?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
（Ⅱ）∵ABCD為正方形，
∴AD⊥CD，
∵DF⊥DC，DF?平面ADF，AD?平面ADF，AD∩DF=D，
∴CD⊥平面ADF，
∵FA?平面ADF，
∴CD⊥FA，
∵AF=

3

AD，DF=2AD
∴DF²=AF²+AD²，
∴DF⊥AD，
∵AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，CD∩AD=D，
∴AF⊥平面ABCD．

點評：本題主要考查了線面垂直和線面平行的判定定理的應用．考查了學生三維觀察能力和推理能力．