Question

函數f(x)=x+

a

x

．
（1）判斷并證明函數的奇偶性；
（2）若a=2，證明函數在（2，+∞）單調增；
（3）對任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）函數是奇函數．利用奇函數的定義，先確定函數的定義域關于原點對稱，再驗證f（-x）=-f（x）即可；
（2）求導數，證明導數大于0即可；
（3）對a討論，確定函數在（1，2）上的單調性，利用f（x）_min＞3，即可求得a的范圍．

解答：（1）解：f（x）是奇函數，證明如下：
由題意可得，函數的定義域{x|x≠0}關于原點對稱
∵f（-x）=-x-

a

x

=-f（x）
∴f（x）是奇函數；
（2）證明；當a=2時，f（x）=x+

2

x

，∴f′(x)=1-

2

x2

當x＞2時，f′(x)=1-

2

x2

＞0恒成立
∴函數在（2，+∞）單調增；
（3）解：當a≤0時，f(x)=x+

a

x

在x∈（1，2）單調遞增
∴1+a＜f(x)＜2+

a

2

∴1+a≥3
∴a≥2（舍）
當a＞0時，f(x)=x+

a

x

在（0，

a

]單調遞減，在[

a

，+∞）單調遞增
∴2

a

＞3
∴a＞

9

4

∴a的范圍是(

9

4

，+∞)．

點評：本題考查函數的單調性與奇偶性，考查恒成立問題，確定函數的單調性是關鍵．