(本題滿分14分)設函數(shù)f (x)＝x3＋ax2－(2a+3)x+ a2 , a∈R．

(Ⅰ) 若x＝1是f (x)的極大值點，求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ) 設函數(shù)g(x)＝bx2－(2b＋1)x＋ln x (b≠0,b∈R),若函數(shù)f (x)有極大值，且g(x)的極大值點與f (x)的極大值點相同．當時，求證：g(x)的極小值小于－1．

滿分14分。

    (Ⅰ) 解: f ′(x)＝3x2＋2ax－(2a+3)＝(x－1)(3x＋2a＋3)．由于x＝1是f (x)的極大值點 ，故，即a <－3    …………………………7分

 (Ⅱ) 解: f ′(x)＝3x2＋2ax－(2a+3)＝(x－1)(3x＋2a＋3)．

g ′(x)＝＋2bx－(2b＋1)＝．

由于函數(shù)f (x)有極大值，故，即．

當 a＞－3時，即，則f (x)的極大值點，

所以，g(x)的極大值點，極小值點為x＝1．

所以，，

此時，g(x)的極小值g(1)＝b－(2b＋1)＝－1－b<－<－1．………………14分

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相關習題

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（本題滿分14分）

設函數(shù)，。

（1）若，過兩點和的中點作軸的垂線交曲線于點，求證：曲線在點處的切線過點；

（2）若，當時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）設函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求在[—1，2]上的最小值； （3）當時，用數(shù)學歸納法證明：

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（本題滿分14分）設橢圓的左、右焦點分別為F1與
F2，直線過橢圓的一個焦點F2且與橢圓交于P、Q兩點，若的周長為。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C經(jīng)過伸縮變換變成曲線，直線與曲線相切
且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若，求面積的取值范圍。（O為坐標原點）

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省杭州市高三寒假作業(yè)數(shù)學卷三 題型：解答題

（本題滿分14分）設M是由滿足下列條件的函數(shù)構成的集合：“①方有實數(shù)根；②函數(shù)的導數(shù)滿足”

 （I）證明：函數(shù)是集合M中的元素；

 （II）證明：函數(shù)具有下面的性質：對于任意，都存在，使得等式成立。 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省揭陽市高三調研檢測數(shù)學理卷 題型：解答題

本題滿分14分）

設函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）若，試確定的單調性；

（3）記，且在上的最大值為M，證明：．

 

 

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