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已知函數f（x）=
mx+n
1+x2
是定義在[-
1
2
，
1
2
]上是奇函數，且f（-
1
4
）=
8
17

（1）確定函數f（x）解析式
（2）用定義證明函數f（x）在[
1
2
，
1
2
]上是減函數
（3）若實數t滿足f（
t
3
）+f（t+1）＜0，求t的取值范圍．
（1）∵函數f（x）=
mx+n
1+x2
為奇函數，
∴對于定義域內的任意實數x，都有f（-x）=-f（x）
即
-mx+n
1+x2
=-
mx+n
1+x2
，可得-mx+n=-mx-n，得n=0
∴f（x）=
mx
1+x2

∵f（-
1
4
）=
8
17
，∴
-
1
4
m
1+
1
16
=
8
17
，解之得m=-1
因此，函數f（x）解析式為f（x）=
-x
1+x2

（2）由（1）知，f（x）=
-x
1+x2
，
設x1、x2∈[-
1
2
，
1
2
]，且x1＜x2，可得
f（x1）-f（x2）=
-x1
1+x12
-
-x2
1+x22
=
(x1-x2)(x1x2-1)
(1+x12)(1+x22)

∵x1-x2＜0，x1x2-1＜0，（1+x12）（1+x22）＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，得f（x1）＞f（x2）
由此可得函數f（x）在[
1
2
，
1
2
]上是減函數；
（3）∵f（x）在[
1
2
，
1
2
]上是奇函數且是減函數
∴實數t滿足f（
t
3
）+f（t+1）＜0，即f（
t
3
）＜-f（t+1）=f（-t-1）
可得-
1
2
＜-t-1＜
t
3
＜
1
2
，解之得-
3
4
＜t＜-
1
2

即得實數t的范圍為（-
4
3
，-
1
2
）．
練習冊系列答案
相關習題

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已知函數f（x）對于一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，則當x∈（0，
1
2
），不等式f（x）+2＜logax恒成立時，實數a的取值范圍是______．

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若函數f（x）=1+
m
ex-1
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A．0B．
1
2
C．1D．2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

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1
3
)的解集是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

函數f(x)=
-1
x
+x的圖象關于（　�。�
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C．坐標原點對稱D．直線y=x對稱

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

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2x-1
x-1
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（2）判斷函數g（x）=x3+
1
x
的奇偶性，并用定義法給出證明．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設二次函數f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R）
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（3）在（1）的條件下，若f（x）≤m2-2am+2對所有x∈[-1，
2
-1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

函數y=f(x)，(-
a2
2
≤x≤2)是奇函數，由實a數的值是（　�。�
A．-2B．2C．2或-2D．無法確定

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