Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，an+1=

1

2

a

2 n

-an+c（c＞1為常數(shù)，n=1，2，3，…），且a3-a2=

1

8

.
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）①證明：a_n＜a_n+1；
②猜測數(shù)列{a_n}是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；
（Ⅲ）比較

n

k=1

1

ak

與

40

39

an+1的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）把n=2和n=3分別代入an+1=

1

2

a

2 n

-an+c，可得到a₂和a₃的表達(dá)式代入a3-a2=

1

8

.即可求得c．
（2）①要證a_n＜a_n+1需證a_n+1-a_n＞0，把an+1=

1

2

a

n 2

-an+c代入整理得an+1-an= -

1

2

(an-2)2≥0
當(dāng)且僅當(dāng)a_n=2時，a_n+1=a_n．根據(jù)a₁=1進(jìn)而可證明．
②數(shù)列{a_n}有極限且極限值等于2．
（3）對an+1=

1

2

a

2 n

-an+2進(jìn)行整理可得到關(guān)系式

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，然后代入到

n

k=1

1

ak

中找到

n

k=1

1

ak

的關(guān)系式，最后

n

k=1

1

ak

與

40

39

an+1作差比較大小．

解答：（Ⅰ）解：依題意，a2=

1

2

a

2 1

-a1+c=c-

1

2

，a3=

1

2

a

2 2

-a2+c=

1

2

(c-

1

2

)2+

1

2

.
由a3-a2=

1

8

，得

1

2

(c-

1

2

)2+

1

2

-(c-

1

2

)=

1

8

，
解得c=2，或c=1（舍去）．
（Ⅱ）①證明：因?yàn)?span id="177tx5x" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">an+1-an=

1

2

a

2 n

-2an+2=

1

2

(an-2)2≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a_n=2時，a_n+1=a_n．
因?yàn)閍₁=1，所以a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1（n=1，2，3，）．
②數(shù)列{a_n}有極限，且

lim

n→∞

an=2．
（Ⅲ）解：由an+1=

1

2

a

2 n

-an+2，可得a_n（a_n+1-a_n）=（a_n-2）（a_n+1-2），
從而

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

．
因?yàn)閍₁=1，所以

n

k=1

1

ak

=

n

k=1

(

1

ak-2

-

1

ak+1-2

)=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2-an+1

-1.
所以

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

1

2-an+1

-1-

40

39

an+1=

40 a 2 n+1 -41an+1-39

39•(2-an+1)

=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39•(2-an+1)

.
因?yàn)閍₁=1，由（Ⅱ）①得a_n≥1（n∈N^*）．（1）
下面證明：對于任意n∈N^*，有a_n＜2成立．
當(dāng)n=1時，由a₁=1，顯然結(jié)論成立．
假設(shè)結(jié)論對n=k（k≥1）時成立，即a_k＜2．
因?yàn)?span id="nfpln7l" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">an+1=

1

2

a

2 n

-an+2=

1

2

(an-1)2+

3

2

，且函數(shù)y=

1

2

(x-1)2+

3

2

在x≥1時單調(diào)遞增，
所以ak+1＜

1

2

(2-1)2+

3

2

=2．
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．于是，當(dāng)n∈N^*時，有a_n＜2成立．（2）
根據(jù)（1）、（2）得1≤a_n＜2．
由a₁=1及an+1=

1

2

a

2 n

-an+2，經(jīng)計(jì)算可得a2=

3

2

，a3=

13

8

.
所以，當(dāng)n=1時，

1

a1

＜

40

39

a2；當(dāng)n=2時，

1

a1

+

1

a2

=

40

39

a3；
當(dāng)n≥3時，由

13

8

＜an+1＜2，得

n

k=1

1

ak

-

40

39

an+1=

(5an+1+3)(8an+1-13)

39•(2-an+1)

＞0?

n

k=1

1

ak

＞

40

39

an+1．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式和數(shù)列的求和問題．?dāng)?shù)列是高考必考題，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．