Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），如果對于任意x∈[3，+∞）都有|f（x）|≥1成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，在解題過程中注意對a要分a＞1時，|f（x）|=f（x）=log_ax在[3，+∞）上為增函數(shù)和0＜a＜1時f（x）|=-f（x）=-log_ax在[3，+∞）上為增函數(shù)兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：當(dāng)a＞1時，對于任意x∈[3，+∞），都有f（x）＞0．
所以，|f（x）|=f（x），而f（x）=log_ax在[3，+∞）上為增函數(shù)，
∴對于任意x∈[3，+∞），有f（x）≥loga3．
因此，要使|f（x）|≥1對于任意x∈[3，+∞）都成立．
只要log_a3≥1=log_aa即可，∴1＜a≤3．
當(dāng)0＜a＜1時，對于x∈[3，+∞），有f（x）＜0，
∴|f（x）|=-f（x）．
∵f（x）=log_ax在[3，+∞）上為減函數(shù)，
∴-f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)．
∴對于任意x∈[3，+∞）都有|f（x）|=-f（x）≥-log_a3．
因此，要使|f（x）|≥1對于任意x∈[3，+∞）都成立，
只要-loga3≥1成立即可，
∴l(xiāng)oga3≤-1=loga

1

a

，即

1

a

≤3，∴

1

3

≤a＜1．
綜上，使|f（x）|≥1對任意x∈[3，+∞）都成立的a的取值范圍是：（1，3]∪[

1

3

，1）．

點(diǎn)評：在函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）中，對a要分a＞1和0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論，以避免丟解．