Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）求證：10 (4lge+

lge

2

+

lge

3

+…+

lge

n

)＞（n+1）e 

(1+n)n

nn

（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,不等式的證明

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范圍；
（2）利用分析法進(jìn)行證明．

解答： （1）解：∵f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，
∴f′（x）=

1

x-1

-k=0，
∴x=1+

1

k

，
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）≤0不恒成立，
當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，1+

1

k

）單調(diào)遞增，在（1+

1

k

，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1+

1

k

時(shí)，f（x）取最大值，f（1+

1

k

）=ln

1

k

≤0，∴k≥1；
（2）證明：要證10 (4lge+

lge

2

+

lge

3

+…+

lge

n

)＞（n+1）e 

(1+n)n

nn

，
只需證明4lge+

lge

2

+…+

lge

n

＞lg[（n+1）e 

(1+n)n

nn

]
即證4+

1

2

+…+

1

n

＞lg[（n+1）e 

(1+n)n

nn

]÷lge
即證4+

1

2

+…+

1

n

＞ln[e

(1+n)n

nn

（n+1）]
即證1+

1

2

+…+

1

n

+3＞ln（n+1）+(1+

1

n

)n
由（1）知ln（1+x）＜x
令x=

1

n

，
故ln（1+

1

n

）=ln（n+1）-lnn＜

1

n

累加得，ln（n+1）＜1+

1

2

+…+

1

n

∵ln（1+

1

n

）＜

1

n

，∴(1+

1

n

)n＜e＜3，
∴1+

1

2

+…+

1

n

+3＞ln（n+1）+(1+

1

n

)n
故10 (4lge+

lge

2

+

lge

3

+…+

lge

n

)＞（n+1）e 

(1+n)n

nn

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與不等式兩方面的知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
（I）考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)；
（II）考查了運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，將（I）中的函數(shù)結(jié)論巧妙運(yùn)用到不等式當(dāng)中，從而達(dá)到證明的目的．