Question

【題目】函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一個零點為，其圖象距離該零點最近的一條對稱軸為x=．

（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；

（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）=2sin（2x）（Ⅱ）k∈[，4]

【解析】

（Ⅰ）由函數的零點列式得到ω+φ=kπ，，再由已知求得周期，進一步求得ω，則φ可求，函數解析式可求；

（Ⅱ）由x的范圍求得相位的范圍，進一步求出函數值域，再由方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有實數解即可求得k的范圍．

（Ⅰ）由題意，f（）=2sin（ω+φ）=0，即ω+φ=kπ，①

，

即T=，得ω=2，

代入①得φ=，，取k=1，得φ=，

∴f（x）=2sin（2x）；

（Ⅱ）∵x∈[，]，

∴∈[]，，得f（x）∈[-2，1]，

由f（x）+log2k=0，

得log2k=-f（x）∈[]，

∴k∈[，4]．