Question

由曲線y=x²和直線x=0，x=1，y=t²，t∈（0，1）所圍成的圖形（陰影部分）的面積的最小值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由圖形將陰影部分的面積用定積分表示出來，再利用定積分的運算規(guī)則將面積表示為t的函數，進行判斷得出面積的最小值
解答：由題意及圖象，曲線y=x²和直線y=t²交點坐標是（t，t）
故陰影部分的面積是∫₀^t（t²-x²）d_x+∫_t¹（-t²+x²）d_x=（t²x-x³）|₀^t+（-t²x+x³）|_t¹=
令p=，則p′=4t²-2t=2t（2t-1），知p=在（0，1）先減后增，在t=時取到最小值，
故面積的最小值是=
故選D
點評：本題考查求定積分，解題的關鍵是根據圖象與函數解析式將面積用積分表示出來，利用積分的定義得到關于變量t的表達式，再研究其單調性求出最值，本題運算量較大涉及到的考點較多，綜合性強，運算量大，極易因運算、變形出錯．