設點M為△ABC內(nèi)部（不含邊界）任意一點，△MBC、△MAC和△MAB的面積分別為x、y、z，映射f：M→（x，y，z）使得點M對應有序實數(shù)組（x，y，z），記作f（M）=（x，y，z）．若∠BAC=30°，
AB
•
AC
=4
3
且f（M）=（x，y，
1
2
），則
1
x
+
4
y
的最小值為
 
．
考點：基本不等式在最值問題中的應用,平面向量數(shù)量積的運算
專題：不等式的解法及應用,平面向量及應用
分析：由向量的數(shù)量積公式得|
AB
|•|
AC
|•cos∠BAC=4
3
，故|
AB
|•|
AC
|=8，進而可得△ABC的面積為2，由題意得，x+y=2-
1
2
=
3
2
，進而由基本不等式可得：
1
x
+
4
y
的最小值．
解答： 解：∵∠BAC=30°，
AB
•
AC
=4
3
，
∴由向量的數(shù)量積公式得|
AB
|•|
AC
|•cos∠BAC=4
3
，
|
AB
|•|
AC
|=8，
∵S△ABC=
1
2
|
AB
|•|
AC
|•sin∠BAC=2，
由題意得，
x+y=2-
1
2
=
3
2
．
∴
1
x
+
4
y
=
2
3
（
1
x
+
4
y
）（x+y）=
2
3
（5+
y
x
+
4x
y
）≥
2
3
（5+2
y
x
•
4x
y
）=6，
故答案為：6
點評：本題考查基本不等式的應用和向量的數(shù)量積，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+4ax+2a+6
（1）若函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），求a的值
（2）若函數(shù)f（x）的函數(shù)值均為非負數(shù)，求f（a）=2-a|a+4|的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地預計明年從年初開始的前x個月內(nèi)，某種商品的需求總量f（x）（萬件）與月份x的近似關系為f（x）=
1
150
x（x+1）（35-2x）（x∈N，且x≤12）．
（1）寫出明年第x個月的需求量g（x）（萬件）與月份x的函數(shù)關系式；
（2）求哪個月份的需求量最大？最大值為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們有網(wǎng)相聯(lián)．連線標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結點B向結點A傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（　�。�
A、26B、24C、20D、19

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示的算法流程圖中（注：“x=x+2”也可寫成“x：=x+2”，均表示賦值語句），若輸入的x值為-3，則輸出的y值是（　�。�
A、
1
8
B、
1
2
C、2
D、8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定積分
∫
1
-4
（|x|-1）dx的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=a-
2
ex+1
（a∈R）．
（1）確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求實數(shù)a，使f（x）是奇函數(shù)，在此基礎上，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
3x-2
的定義域是（　　）
A、(
2
3
，+∞)
B、[
2
3
，+∞)
C、(-∞，
2
3
)
D、(-∞，
2
3
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞b，則下列不等式中不成立的個數(shù)是（　　） 
①a2＞b2，②
1
a
＜
1
b
，③
1
a-b
＞
1
a
．
A、0B、1C、2D、3

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