如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)為a，求：?

(1)A1A與BC所成的角與距離；

(2)A1A與B1C所成的角與距離；

(3)AD1與B1C所成的角與距離；

(4)BD1與AC所成的角；

(5)AD1與BD所成的角與距離；

(6)若E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則D1E和B1F所成的角的大小.

解析：(1)∵BC∥AD，?

∴∠A1AD或其補(bǔ)角即為A1A與BC所成的角.?

在立方體中易知∠A1AD=90°.?

∴A1A與BC所成的角為90°.?

由AB⊥A1A，AB⊥BC，?

∴AB=a,即為A1A與BC的距離.?

 (2)∵BB1∥AA1,?

∴∠BB1C或其補(bǔ)角即為A1A與B1C所成的角.?

在立方體中易知∠BB1C=45°.?

∴A1A與BC所成的角為45°.?

由A1B1⊥A1A，A1B1⊥B1C，?

∴A1B1=a，即為A1A與BC的距離.?

 (3)連結(jié)BC1交B1C于F，則BC1∥AD1.?

∴∠BFC或其補(bǔ)角即為AD1與B1C所成的角，在立方體中易知∠BFC=90°.?

∴A1A與BC所成的角為90°.?

取AD1的中點(diǎn)E，連結(jié)EF.?

則EF∥AB，而AB⊥AD1，?

∴EF⊥AD1.?

同理可得EF⊥B1C.?

∴EF即為AD1與B1C的距離.?

由EF=AB=a，?

∴AD1與B1C的距離為a.?

 (4)延長(zhǎng)DA到N，使DA=AN，連結(jié)BN、D1N，則BN∥AC.?

∴∠D1BN或其補(bǔ)角即為BD1與AC所成的角.?

∵棱長(zhǎng)為a，∴BN=AC=2a,D1N=5a,D1B=3a.?

由勾股定理可得∠D1BN=90°.?

∴BD1與AC所成角為90°.?

(5)連結(jié)B1D1、AB1，則BD∥B1D1.?

 

∴∠AD1B1或其補(bǔ)角即為AD1與BD所成角.?

在立方體中易知△AB1D1為等邊三角形.?

∴∠AD1B1=60°.

∴AD1與BD所成角為60°.?

取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)A1M交AD1于H，連結(jié)CM交BD于G，連結(jié)GH、A1C.則GH∥A1C且GH=.

由上題可知A1C⊥BD，A1C⊥AD1.?

GH即為AD1與BD的距離.?

通過(guò)計(jì)算得GH =.?

∴AD1與BD所成角與距離分別為60°,.?

   (6)延長(zhǎng)AD到G，使DG=，連結(jié)D1G、GE，則D1G∥B1F.?

∴∠ED1G或其補(bǔ)角即為D1E與B1F所成角.?

在△ED1G中，D1G=,?EG=,D1E=

cos∠ED1G=.?

∴D1E與B1F所成角為arccos.

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A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心；
B．AH垂直平面CB1D1；
C．二面角C-B1D1-C1的正切值為
2
；
D．點(diǎn)H到平面A1B1C1D1的距離為
3
4
其中真命題的代號(hào)是．（寫出所有真命題的代號(hào)）

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2
3
2
3
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