Question

【題目】已知橢圓過(guò)， 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上．試問(wèn)直線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）存在 ，或.

【解析】試題分析：（1）由橢圓過(guò)， 兩點(diǎn)可得， ， ，從而，進(jìn)而可得橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)， ，若是平行四邊形，則 ，可得． 將上式代入 ，可解得，或，從而可得出點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）由題意得， ， ， 所以橢圓的方程為．

設(shè)橢圓的半焦距為，則 ，

所以橢圓的離心率．

（2）由已知，設(shè)， ．

若是平行四邊形，則 ，

所以 ，

整理得 ． 將上式代入 ，

得 ， 整理得 ，解得 ，或．

此時(shí) ，或．經(jīng)檢驗(yàn)，符合四邊形是平行四邊形，

所以存在 ，或滿足題意．