Question

設(shè)平面α∥平面β，AB、CD是兩條異面直線(xiàn)，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，且A、C∈α，B、D∈β，求證：MN∥平面α．

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)锳B與CD是異面直線(xiàn)，故MN與AC、BD不平行．在平面α、β中找不到與MN平行的直線(xiàn)，試圖通過(guò)證線(xiàn)線(xiàn)平行達(dá)到線(xiàn)面平行這一思路受阻；于是轉(zhuǎn)而考慮通過(guò)證面面平行達(dá)到線(xiàn)面平行，即需找一個(gè)過(guò)MN且與α平行的平面．根據(jù)M、N是異面直線(xiàn)上的中點(diǎn)這一特征，連接BC，則此時(shí)AB、BC共面，即BC為溝通AB、CD的橋梁，再取BC的中點(diǎn)E，連接ME、NE，用中位線(xiàn)知識(shí)可證得．
解答：證明：連接BC、AD，取BC的中點(diǎn)E，連接ME、NE，則ME是△BAC的中位線(xiàn)，
故ME∥AC，ME?α，∴ME∥α．
同理可證，NE∥BD．又α∥β，
設(shè)CB與DC確定的平面BCD與平面α交于直線(xiàn)CF，則CF∥BD，
∴NE∥CF．而NE?平面α，CF?α，∴NE∥α．
又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，
而MN?平面MNE，∴MN∥平面α．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的判定，考查學(xué)生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．