Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對于任意的正整數(shù)n，S_n和a_n都滿足S_n=2-a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)c_n=n（3-b_n），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)知a₁=1，a_n+S_n=2，a_n+1+S_n+1=2，兩式相減：a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n，，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，3，…），知，再由累加法能推導(dǎo)出（n=1，2，3，…）．
（Ⅲ）由，知，再由錯位相減法能夠推導(dǎo)出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（Ⅰ）∵n=1時，a₁+S₁=a₁+a₁=2，∴a₁=1，∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2，兩式相減：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0，即a_n+1-a_n+a_n+1=0，
故有2a_n+1=a_n，∵a_n≠0，∴，
所以，數(shù)列{a_n}為首項a₁=1，公比為的等比數(shù)列，，n∈N⁺，
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，3，…），∴，
得b₂-b₁=1，，，…，（n=2，3，…）
將這n-1個等式相加，
==，
又∵b₁=1，∴（n=1，2，3，…）
（Ⅲ）∵，
∴①
而②
①-②得：，
=8-=．
點評：第（Ⅰ）題考查迭代法求數(shù)列通項公式的方法，第（Ⅱ）題考查累加法求數(shù)列通項公式的方法，第（Ⅲ）題考查錯位相減求數(shù)列前n項和的方法．解題時要認真審題，仔細解答．