Question

己知函數(shù)f（x）=lnx-e^x+a
（I）若x=1是，f（x）的極值點，討論f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）當a≥-2時，證明：f（x）＜0．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）求導函數(shù)，利用x=1是f（x）的極值點，求出a的值，再利用導數(shù)的正負，即可得出f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）a≥-2時，e^x+a≥e^x-2，lnx-e^x+a≤lnx-e^x-2，只需證明g（x）=lnx-e^x-2＜0，求出g（x）_max＜0，即可得出結(jié)論．

解答： （I）解：∵f（x）=lnx-e^x+a，
∴f′（x）=

1

x

-e^x+a，
∵x=1是f（x）的極值點，
∴1-e^1+a=0，
∴a=-1，
∴f′（x）=

1

x

-e^x-1，
x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
（Ⅱ）證明：當a≥-2時，e^x+a≥e^x-2，lnx-e^x+a≤lnx-e^x-2，
只需證明g（x）=lnx-e^x-2＜0
∵g′（x）=

1

x

-e^x-2，
由g′（x）=0得

1

x

=e^x-2，方程有唯一解x₀∈（1，2），
∴x∈（0，x₀）時，g′（x）＞0，g（x）在（0，x₀）內(nèi)單調(diào)遞增，
x∈（x₀，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）在（x₀，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=lnx₀-e^x₀-2=-x₀+2-

1

x0

∵x₀∈（1，2），
∴x₀+

1

x0

＞2，
∴g（x）_max＜0
綜上，當a≥-2時，f（x）＜0．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．