Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+1-2（a＞0，且a≠1）設f^-1（x）是f（x）的反函數(shù)．
（I）若y=f^-1（x）在[0，1]上的最大值和最小值互為相反數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若y=f^-1（x）的圖象不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）因為a^x+1＞0，
所以f（x）的值域是{y|y＞-2}．
設y=a^x+1-2，解得x=log_a（y+2）-1．
當a＞1時，f^-1（x）=log_a（x+2）-1為（-2，+∞）上的增函數(shù)，
所以f^-1（0）+f'（1）=0即（log_a2-1）+（log_a3-1）=0
解得a=．
（II）由（I）得f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=log_a（x+2）-1，（x＞-2），它的圖象不過第二象限，
當a＞1時，函數(shù)f^-1（x）是（-2，+∞）上的增函數(shù)，且經(jīng)過定點（-1，-1）．
所以f^-1（x）的圖象不經(jīng)過第二象限的充要條件是f^-1（x）的圖象與x軸的交點位于x軸的非負半軸上．
令log_a（x+2）-1=0，解得x=a-2，
由a-2≥0，解得a≥2．
分析：（I）欲求原函數(shù)f（x）=a^x+1-2的反函數(shù)，即從原函數(shù)式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式．先研究f^-1（x）在[0，1]的單調(diào)性，得到當x取何值時，此函數(shù)取得最值，最后得到等式：f^-1（0）+f'（1）=0，解此關于a方程即可求得a值；
（II）由對數(shù)函數(shù)的圖象可知，f^-1（x）的圖象不經(jīng)過第二象限的充要條件是f^-1（x）的圖象與x軸的交點位于x軸的非負半軸上，從而列出等式求出圖象與x軸交點橫坐標x=a-2，令其非負即可求得a的取值范圍．
點評：本題考查反函數(shù)的求法、對數(shù)函數(shù)的圖象變換及其性質，屬于對數(shù)函數(shù)綜合題目．