過拋物線y2=2px(p>0)焦點的直線與拋物線交于A、B兩點,|AB|=3,且AB中點的縱坐標(biāo)為數(shù)學(xué)公式,則p的值為________.


分析:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),根據(jù)AB中點的縱坐標(biāo)為,可得y1+y2=1,兩邊平方,利用y1y2=-p2,可得2p(x1+x2-p)=1,利用拋物線的定義及|AB|=3,可得x1+x2=3-p,由此即可求得p的值.
解答:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2
∵AB中點的縱坐標(biāo)為,∴y1+y2=1
設(shè)AB方程為:x=ky+代入拋物線方程可得y2=2p(ky+),即y2-2pky-p2=0,
∴y1y2=-p2,
∴y12+y22-2p2=1
∴2px1+2px2-2p2=1
∴2p(x1+x2-p)=1
分別過A,B向準(zhǔn)線x=-引垂線,垂足依次為A1,B1,則|AF|=|AA1|=x1+,|BF|=|BB1|=x2+
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3
∴x1+x2=3-p
∴2p(3-2p)=1
∴4p2-6p+1=0
∴p=
故答案為:
點評:本題考查拋物線的定義,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點為B,點A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C,若
AF
=
FB
BA
BC
=48
,則拋物線的方程為( �。�
A、y2=4x
B、y2=8x
C、y2=16x
D、y2=4
2
x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0>0)作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),若PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),則
y1+y2y0
=
 

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過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點,O為拋物線的頂點.則△ABO是一個( �。�
A、等邊三角形B、直角三角形C、不等邊銳角三角形D、鈍角三角形

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過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線AB交拋物線于A,B兩點,弦AB的中點為M,過M作AB的垂直平分線交x軸于N.
(1)求證:FN=
12
AB

(2)過A,B的拋物線的切線相交于P,求P的軌跡方程.

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(2010•武漢模擬)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于M、N兩點,直線OM、ON(O為坐標(biāo)原點)分別與準(zhǔn)線l:x=-
p
2
相交于P、Q兩點,則∠PFQ=( �。�

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