Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），設左頂點為A，上頂點為B，且

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，如圖．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），過F的直線l交橢圓于M，N兩點，試確定

FM

•

FN

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（1，0），由

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，推導出b²-a-1=0，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）若直線l斜率不存在，則l：x=1，

FM

•

FN

=-

9

4

；若直線l斜率存在，設l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達定理能求出

FM

•

FN

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），
設左頂點為A，上頂點為B，
∴A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（1，0），
∵

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，
∴b²-a-1=0，∵b²=a²-1，∴a²-a-2=0，解得a=2，
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）①若直線l斜率不存在，則l：x=1，
此時M(1，

3

2

)，N(1，-

3

2

)，

FM

•

FN

=-

9

4

；
②若直線l斜率存在，設l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1•x2=

4k2-12

4k2+3

，
∴

FM

•

FN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）
=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=

-9

4- 1 1+k2

∵k²≥0，∴0＜

1

1+k2

≤1，
∴3≤4-

1

1+k2

＜4，
∴-3≤

FM

•

FN

＜-

9

4

，
綜上，

FM

•

FN

的取值范圍為[-3， -

9

4

]． …（13分）

點評：本題考查橢圓的方程的求法，考查線段乘積取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．