Question

【題目】如圖1，，過動(dòng)點(diǎn)作，垂足在線段上且異于點(diǎn)，連接，沿將折起，使（如圖2所示），

（1）當(dāng)的長為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1） ；（2），

【解析】

（1）設(shè)，先利用線面垂直的判定定理證明即為三棱錐的高，再將三棱錐的體積表示為的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可；

（2）由（1）可先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，先利用線線垂直的充要條件計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定點(diǎn)位置，再求平面的法向量，從而利用夾角公式即可求得所求線面角

(1)設(shè)，則

∵折起前，∴折起后

∴平面

∴

設(shè)，

∵，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值

∴當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大；

(2)以為原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系，

由(1)知，三棱錐的體積最大時(shí)，,

∴ ,且

設(shè)，則

∵，∴

即，

∴，∴,

∴當(dāng)時(shí)，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由及

得，取

設(shè)與平面所成角為，則

，

∴

∴與平面所成角的大小為.