Question

已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)求曲線的切線、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力，考查學生的分類討論思想、函數(shù)思想.第一問，對求導，將切點的橫坐標代入得到切線的斜率，再將切點的橫坐標代入到中，得到切點的縱坐標，利用點斜式得到切線的方程；第二問，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在恒成立，對求導，由于分母恒正，只需分子在恒成立，設(shè)函數(shù)，利用拋物線的性質(zhì)求出，令即可，解出P的值；第三問，先通過函數(shù)的單調(diào)性求出的值域，通過對P的討論研究的單調(diào)性，求出的值域，看是否有值大于的最小值為2.

（1）當時，函數(shù)，．

，曲線在點處的切線的斜率為．

從而曲線在點處的切線方程為，即．…4分

（2）．

令，要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立．

由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴， 只需，即時，

∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實數(shù)的取值范圍是．……9分

（3）∵在上是減函數(shù)，

∴時，；時，，即，

①當時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側(cè)，且，所以在內(nèi)是減函數(shù)．

當時，，因為，所以，，

此時，在內(nèi)是減函數(shù)．

故當時，在上單調(diào)遞減，不合題意；

②當時，由，所以．

又由（2）知當時，在上是增函數(shù)，

∴，不合題意；

③當時，由（2）知在上是增函數(shù)，，

又在上是減函數(shù)，故只需，，

而，，

即，解得，

所以實數(shù)的取值范圍是． 14分

考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)求曲線的切線、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題.