已知函數(shù).
(1)若,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)
的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),若在
上至少存在一點
,使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
(1);(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力,考查學(xué)生的分類討論思想、函數(shù)思想.第一問,對求導(dǎo),將切點的橫坐標(biāo)代入得到切線的斜率,再將切點的橫坐標(biāo)代入到
中,得到切點的縱坐標(biāo),利用點斜式得到切線的方程;第二問,
在定義域
內(nèi)是增函數(shù),只需
在
恒成立,對
求導(dǎo),由于分母恒正,只需分子
在
恒成立,設(shè)函數(shù)
,利用拋物線的性質(zhì)求出
,令
即可,解出P的值;第三問,先通過函數(shù)
的單調(diào)性求出
的值域,通過對P的討論研究
的單調(diào)性,求出
的值域,看是否有值大于
的最小值為2.
(1)當(dāng)時,函數(shù)
,
.
,曲線
在點
處的切線的斜率為
.
從而曲線在點
處的切線方程為
,即
.…4分
(2).
令,要使
在定義域
內(nèi)是增函數(shù),只需
在
內(nèi)恒成立.
由題意,
的圖象為開口向上的拋物線,對稱軸方程為
,∴
, 只需
,即
時,
∴在
內(nèi)為增函數(shù),正實數(shù)
的取值范圍是
.……9分
(3)∵在
上是減函數(shù),
∴時,
;
時,
,即
,
①當(dāng)時,
,其圖象為開口向下的拋物線,對稱軸
在
軸的左側(cè),且
,所以
在
內(nèi)是減函數(shù).
當(dāng)時,
,因為
,所以
,
,
此時,在
內(nèi)是減函數(shù).
故當(dāng)時,
在
上單調(diào)遞減
,不合題意;
②當(dāng)時,由
,所以
.
又由(2)知當(dāng)時,
在
上是增函數(shù),
∴,不合題意;
③當(dāng)時,由(2)知
在
上是增函數(shù),
,
又在
上是減函數(shù),故只需
,
,
而,
,
即,解得
,
所以實數(shù)的取值范圍是
. 14分
考點:導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西省等五校高三第三次模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)
的值為( )
(A) 或
(B)
(C)
(D)
或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西省高考第七次適應(yīng)性訓(xùn)練理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
平面上有一組平行線且相鄰平行線間的距離為,把一枚半徑為
的硬幣任意平擲在這個平面,則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西省高考第七次適應(yīng)性訓(xùn)練文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知如下算法語句
輸入t;
If t<5 Then y=t2+1;
Else if t<8 Then y=2t-1;
Else y=;
End If
End if
輸出y
若輸入t=8,則下列程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西省高考第七次適應(yīng)性訓(xùn)練文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知的三頂點坐標(biāo)為
,
,
,
點的坐標(biāo)為
,向
內(nèi)部投一點
,那么點
落在
內(nèi)的概率為( ).
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西省高三下學(xué)期第八次適應(yīng)性訓(xùn)練理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)求的值域;
(2)記的內(nèi)角
的對邊長分別為
,若
,
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西省高三下學(xué)期第八次適應(yīng)性訓(xùn)練理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
拋物線=-2y2的準(zhǔn)線方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西省高三第六次模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
A.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),圓
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)), 則圓心
到直線的距離為_________.
B.(幾何證明選講)如右圖,直線與圓
相切于點
,割線
經(jīng)過圓心
,弦
⊥
于點
,
,
,則
_________.
C.(不等式選講)若存在實數(shù)使
成立,則實數(shù)
的取值范圍是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年重慶市高三下學(xué)期考前模擬(二診)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知向量,函數(shù)
的最小正周期為
.
(1)求的值;
(2)設(shè)的三邊
、
、
滿足:
,且邊
所對的角為
,若關(guān)于
的方程
有兩個不同的實數(shù)解,求實數(shù)
的取值范圍.
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