如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠ABC＝∠CAD＝90°，且PA＝AB＝BC，點E是棱PB上的動點．

(Ⅰ)當PD∥平面EAC時，確定點E在棱PB上的位置；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，求二面角A―CE―P的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)在梯形中，由，，得，

　　∴．又，故為等腰直角三角形．

　　∴．

　　連接，交于點，則

　　∥平面，又平面，∴．

　　在中，，

　　即時，∥平面　　6分

　　(Ⅱ)方法一：在等腰直角中，取中點，連結(jié)，則．∵平面⊥平面，且平面平面＝，∴平面．

　　在平面內(nèi)，過作直線于，連結(jié)，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．

　　在中，設(shè)，則，

　　，，

　　，

　　由，可知：∽，∴，

　　代入解得：．

　　在中，，∴，

　　．

　　∴二面角的余弦值為　　12分

　　方法二：以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標系．

　　設(shè)，則，，，，．

　　設(shè)為平面的一個法向量，則，，∴，解得，∴．

　　設(shè)為平面的一個法向量，則，，

　　又，，∴，解得

　　∴．

　　∴二面角的余弦值為　　12分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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