Question

如圖1，的直徑AB=4，點(diǎn)C、D為上兩點(diǎn)，且CAB=45°，DAB=60°，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直，如圖2.

(I)求證：OF平面ACD；

(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值；

(Ⅲ)在弧BD上是否存在點(diǎn)G，使得FG平面ACD?若存在，試指出點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）對(duì)于線(xiàn)面平行的判定關(guān)鍵是證明來(lái)得到。

（2）

(3) 在弧上存在點(diǎn)，使得//平面，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)

【解析】

試題分析：（方法一）：證明：（Ⅰ）如右圖，連接，

，. …1分 又為弧的中點(diǎn)，，.平面，平面，平面． …4分

解：（Ⅱ）過(guò)作于，連．

，平面⊥平面．

⊥平面．又平面， ， 平面，，則∠是二面角的平面角． ，， . 由⊥平面，平面，得為直角三角形，，==．   8分

（Ⅲ）取弧的中點(diǎn)，連結(jié)、，則

…平面，平面平面//平面.

因此，在弧上存在點(diǎn)，使得//平面，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)．…12分

（方法二）：證明：（Ⅰ）如圖，以所在的直線(xiàn)為軸，以所在的直線(xiàn)為軸，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

則．…… 1分，

點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

解：（Ⅱ），點(diǎn)的坐標(biāo)，．

設(shè)二面角的大小為，為平面的一個(gè)法向量．

由 有 即

取，解得，． =．  5分

取平面的一個(gè)法向量=，    6分

．  8分

（Ⅲ）設(shè)在弧上存在點(diǎn),

,由（Ⅱ）知平面的一個(gè)法向量為=．

= ①   9分

又因?yàn)?  ②由①②兩式聯(lián)立解得，…11分，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080812364422298371/SYS201308081237211004650232_DA.files/image065.png">，所以,則為弧的中點(diǎn)，因此，在弧上存在點(diǎn)，使得//平面，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)． ………12分

考點(diǎn)：線(xiàn)面平行和二面角的平面角

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了二面角的求解，以及線(xiàn)面平行 的判定定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。