Question

已知一系列的拋物線C_n的方程為y=a_nx²（n∈N^*，a_n＞1），過點A_n（n，a_nn²）作該拋物線C_n的切線l_n與y軸交于點 B_n，F(xiàn)_n是 C_n的焦點，△A_nB_nF_n的面積為n³
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：1+≤a_n＜2；
（3）設(shè)b_n=2a_n-a_n²，求證：當(dāng)n≥1時，．

Answer 1

解：（1）A_n（n，a_nn²）在拋物線C_n上，
∵y=a_nx²，
∴y^′=2a_nx，
則切線l_n的斜率為2a_nn，
切線方程為 y-a_nn²=2 a_nn（x-n）…（2分）
令x=0，得y=-a_nn²，，
∴B_n（0，-a_nn²），
又F_n（0，）
∴S=（+a_nn²）n=n³
∴+a_nn²=2n²，即4n²a_n²-8n²a_n+1=0，…（3分）
∴△=64n⁴-16n²=16n²（4n²-1）＞0，
∵a_n＞1，
∴a_n=1+…（4分）
（2）證明：∵a_n=1+=1+，
{a_n}為遞增數(shù)列，
∴a_n≥1+=1+．…（6分）
又a_n＜1+=2，
∴1+≤a_n＜2．…（8分）
（3）．證明：…（9分）
∴=
∵k≥2時，
=…（12分）
∴
=…（14分）
分析：（1）A_n（n，a_nn²）在拋物線C_n上，y^′=2a_nx，則切線l_n的斜率為2a_nn，切線方程為 y-a_nn²=2 a_nn（x-n）．令x=0，得y=-a_nn²，由此能求出a_n．
（2）由a_n=1+=1+，{a_n}為遞增數(shù)列，由a_n≥1+=1+，由此能證明1+≤a_n＜2．
（3）．由，知=，由此能夠證明．
點評：本題考查數(shù)列和解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．