Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），在x=±1時取得極值，且f（1）=-1．
（1）試求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）試判斷f（x=±1）是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導，由題意得方程組，解方程組即可；（2）求導并判斷導數(shù)的正負，由導數(shù)的正負判斷是極大值還是極小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c；
則由題意可得，

f′(1)=3a+2b+c=0 f′(-1)=3a-2b+c=0 f(1)=a+b+c=-1

，
解得，a=

1

2

，b=0，c=-

3

2

．
∴f（x）=

1

2

x³-

3

2

x．
（2）∵f′（x）=

3

2

（x²-1）=

3

2

（x-1）（x+1），
∴當x＜-1，或x＞1時，f'（x）＞0；當-1＜x＜1時，f'（x）＜0，
∴f（-1）是極大值，f（1）是極小值．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，屬于基礎題．