Question

袋子A中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是

1

3

．從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止．
（Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；
（Ⅱ）記5次之內（含5次）摸到紅球的次數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是在相同的條件下進行的試驗，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨立重復試驗，恰好摸5次停止表示第次一定摸到紅球，前四次有兩次摸到紅球，根據獨立重復試驗公式得到結果．
（Ⅱ）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止，隨機變量ξ的取值為0，1，2，3；由n次獨立重復試驗概率公式得到概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）（i）由題意知本題是在相同的條件下進行的試驗，且事件發(fā)生的概率相同，
可以看作獨立重復試驗，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到紅球，
前四次有兩次摸到紅球，根據獨立重復試驗公式得到
C₄²×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

；
（Ⅱ）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止
∴隨機變量ξ的取值為0，1，2，3；
由n次獨立重復試驗概率公式P_n（k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k，得
P（ξ=0）=C₅⁰×(1-

1

3

)5=

32

243

；
P（ξ=1）=C₅¹×

1

3

×(1-

1

3

)4=

80

243

；
P（ξ=2）=C₅²×(

1

3

)2×(1-

1

3

)3=

80

243

；
P（ξ=3）=

C

3 3

•(

1

3

)3+

C

2 3

•(

1

3

)3•

2

3

+

C

2 4

•(

1

3

)3•(

2

3

)2=

51

243

隨機變量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	80 243	51 243

∴ξ的數學期望是Eξ=

32

243

×0+

80

243

×1+

80

243

×2+

51

243

×3=

131

81

．

點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．屬中檔題．