Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），則f（2014）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，分別求出f（1）…f（9）得出f（x）的周期是6，故求出答案．

解答： 解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
令x=1，y=0，
則4f（1）f（0）=f（1）+f（1），
∴f（0）=

1

2

，
再令x=y=1，得f（2）=-

1

4

，
再令x=2，y=1，得f（3）=-

1

2

，
再令x=2，y=2，得f（4）=-

1

4

，
再令x=3，y=2，得f（5）=

1

4

，
再令x=3，y=3，得f（6）=

1

2

，
再令x=4，y=3，得f（7）=

1

4

，
再令x=4，y=4，得f（8）=-

1

4

，
再令x=5，y=4，得f（9）=-

1

2

，
由此可以發(fā)現(xiàn)f（x）的周期是6，
∵2014÷6=135余4，．
∴f（2014）=f（135×6+4）=f（4）=-

1

4

．
故答案為：-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題