(本題滿分14分)已知

(1)證明:

(2)若恒成立,求的最小值.

(3)證明:圖像恒在直線的上方.

 

(1)詳見解析;(2)的最小值為;(3)詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)考慮利用導數(shù)考查上的單調性,從而將問題轉化為求的最小值:, 即上單調遞增;當時,,即結論成立;(2)分析可知,問題等價于求函數(shù)上的值域,通過求導考查單調性即可知,,要使成立,只需恒成立,構造函數(shù),再次利用導數(shù)考查單調性即可知,從而的最小值為;(3)分析可知,問題等價于證明上恒成立,故考慮利用導數(shù)考查函數(shù)上的單調性,從而問題就等價轉化為證明.

試題解析:(1)∵,∴, 即上單調遞增, 2分

∴當時,,即結論成立; 3分(2)令,則,, 4分 ∴當時,

要使,只需, 5分 要使成立,只需恒成立, 6分

,則,由,

時, 此時,有成立,

滿足條件,當時,,此時,有,不符合題意,舍去,

時,令,得,可得當時,,即時,,不符合題意舍去,綜上,, 9分

又∵,∴的最小值為; 10分

(3)由題意只需證,即證上恒成立,

, 11分

,即單調遞增,

又∵,∴在唯一的解,記為,

,即, 12分

可得當時,,當時,,

∴只需最小值, 13分

易得,,∴,∴結論得證. 14分

考點:利用導數(shù)考查函數(shù)的單調性.

 

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