Question

（本題滿分14分）已知數列中，，，其前項和滿足（，）．

（Ⅰ）求證：數列為等差數列，并求的通項公式；

（Ⅱ）設， 求數列的前項和 ；

（Ⅲ）設（為非零整數，），試確定的值，使得對任意，有恒成立．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）

（Ⅲ）存在，使得對任意，都有．

【解析】

試題分析：（1）利用數列的前n項和與通項a_n之間的關系，求出該數列的通項公式是解決本題的關鍵；注意分類討論思想的運用；

（2）利用第一問中所求的公式表示出數列{b_n}的通項公式，根據數列的通項公式選擇合適的方法----錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和T_n．

（3）要使得即為，對于n分為奇數和偶數來得到。

解：（Ⅰ）由已知，（，），

即（，），且．

∴數列是以為首項，公差為1的等差數列．∴． …………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知  它的前項和為

（Ⅲ）∵，∴，

     

          ∴恒成立，

          ∴恒成立．

（ⅰ）當為奇數時，即恒成立當且僅當時，有最小值為1，∴．

（ⅱ）當為偶數時，即恒成立當且僅當時，有最大值，∴．即，又為非零整數，則．

   綜上所述，存在，使得對任意，都有．…………14分

考點：本試題主要考查了數列的前n項和與通項a_n之間的關系，考查等差數列的判定，考查學生分類討論思想．運用數列的通項公式選取合適的求和方法求出數列{b_n}的前n項和，體現了化歸思想．

點評：解決該試題的關鍵是能將已知中前n項和關系式，通過通項公式與前n項和的關系得到通項公式的求解，并合理選用求和方法得到和式。