Question

已知函數(shù)（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；　
（2）當(dāng)x∈（0，1]時，t•f（x）≥2^x-2恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)（a＞0且a≠1）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
∴，解得a=2．
（2）由（1）得，當(dāng)0＜x≤1時，f（x）＞0．
∴當(dāng)0＜x≤1時，t•f（x）≥2^x-2恒成立，
則等價于對x∈（0，1]時恒成立，
令m=2^x-1，0＜m≤1，即當(dāng)0＜m≤1時恒成立，
既在（0，1]上的最大值，易知在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)m=1時有最大值1，所以t≥1，
故所求的t范圍是：t≥1．
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，令f（0）=0列出方程，求出a的值；
（2）由0＜x≤1判斷出f（x）＞0，再把t分離出來轉(zhuǎn)化為對x∈（0，1]時恒成立，利用換元法：令m=2^x-1，代入上式并求出m的范圍，再轉(zhuǎn)化為求在（0，1]上的最大值．
點(diǎn)評：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，恒成立問題以及轉(zhuǎn)化思想和分離常數(shù)法求參數(shù)范圍，難度較大．