已知函數f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常數.
(Ⅰ)當a=1時,求f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的最小值.
解:(Ⅰ)由f(x)=e
x(x
2+ax-a),可得f′(x)=e
x[x
2+(a+2)x].…(2分)
當a=1時,f(1)=e,f′(1)=4e.…(4分)
所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.…(6分)
(Ⅱ)令f′(x)=e
x[x
2+(a+2)x]=0,解得x=-(a+2)或x=0.…(8分)
當-(a+2)≤0,即a≥-2時,在區(qū)間[0,+∞)上,f′(x)≥0,所以f(x)是[0,+∞)上的增函數.
所以f(x)的最小值為f(0)=-a; …(10分)
當-(a+2)>0,即a<-2時,f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表
x | 0 | (0,-(a+2)) | -(a+2) | (-(a+2),+∞) |
f′(x) | 0 | - | 0 | + |
f(x) | f(0) | ↘ | f(-(a+2)) | ↗ |
由上表可知函數f(x)的最小值為f(-(a+2))=
.…(13分)
分析:(Ⅰ)求導函數,求得在x=1處的函數值與斜率,即可確定f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)令f′(x)=e
x[x
2+(a+2)x]=0,解得x=-(a+2)或x=0,分類討論,確定函數的單調性,從而可得函數的極值與最值.
點評:本題考查導數知識的運用,考查導數的幾何意義,考查函數的單調性與最值,正確求導是關鍵.