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已知函數f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常數.
(Ⅰ)當a=1時,求f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的最小值.

解:(Ⅰ)由f(x)=ex(x2+ax-a),可得f′(x)=ex[x2+(a+2)x].…(2分)
當a=1時,f(1)=e,f′(1)=4e.…(4分)
所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.…(6分)
(Ⅱ)令f′(x)=ex[x2+(a+2)x]=0,解得x=-(a+2)或x=0.…(8分)
當-(a+2)≤0,即a≥-2時,在區(qū)間[0,+∞)上,f′(x)≥0,所以f(x)是[0,+∞)上的增函數.
所以f(x)的最小值為f(0)=-a; …(10分)
當-(a+2)>0,即a<-2時,f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表
x0(0,-(a+2))-(a+2)(-(a+2),+∞)
f′(x)0-0+
f(x)f(0)f(-(a+2))
由上表可知函數f(x)的最小值為f(-(a+2))=.…(13分)
分析:(Ⅰ)求導函數,求得在x=1處的函數值與斜率,即可確定f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)令f′(x)=ex[x2+(a+2)x]=0,解得x=-(a+2)或x=0,分類討論,確定函數的單調性,從而可得函數的極值與最值.
點評:本題考查導數知識的運用,考查導數的幾何意義,考查函數的單調性與最值,正確求導是關鍵.
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