如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A1C1上，且DE⊥AE．

(1)證明：平面ADE⊥平面ACC1A1；

(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值．

答案：
解析：

　　(I)由正三棱柱的性質(zhì)知平面，

　　又DE平面A1B1C1，所以DEAA1．(2分)

　　而DEAE，AA1AE＝A 所以DE平面AC C1A1(4分)

　　又DE平面ADE，故平面ADE平面AC C1A1．(6分)

　　(2)設(shè)O為AC中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)A A1＝，則AB＝2，則A(0，－1，0) ，B(，0，0)， C1(0，1，)，D(，－，)(7分)

　　直線AD和平面ABC1所成角為，平面ABC1的法向量為n＝(x，y，z)

　　由＝(，1，0)， ＝(0，2，)， ＝(，－，)

　　有解得x＝－y， z＝－，故可取n＝(1，－，)(9分)

　　＜n·＞＝＝＝(11分)

　　所以，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為．(12分)


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，若二面角C-AB-C1的大小為60°，則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為（　�。�
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1CC1所成的角為a，則sina=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、G分別是AB、BB1、AC1的中點(diǎn)，AB=BB1=2．
（Ⅰ）在棱B1C1上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（Ⅲ）求B1到截面DEG的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AA1上，AN=
14
．
（Ⅰ）求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角C1-BM-C的正切值；
（Ⅲ）證明MN⊥BC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）如圖，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延長線上一點(diǎn)，過A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求證：MN∥平面CDE：
（II）當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí)，求三梭臺(tái)MNF-ABC的體積．

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