如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,,點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn),點(diǎn)E在A1C1上,且DE⊥AE.

(1)證明:平面ADE⊥平面ACC1A1;

(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值.

答案:
解析:

  (I)由正三棱柱的性質(zhì)知平面,

  又DE平面A1B1C1,所以DEAA1.(2分)

  而DEAE,AA1AE=A 所以DE平面AC C1A1(4分)

  又DE平面ADE,故平面ADE平面AC C1A1.(6分)

  (2)設(shè)O為AC中點(diǎn),以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)A A1,則AB=2,則A(0,-1,0) ,B(,0,0), C1(0,1,),D(,-,)(7分)

  直線AD和平面ABC1所成角為,平面ABC1的法向量為n=(x,y,z)

  由=(,1,0), =(0,2,), =(,-,)

  有解得x=-y, z=-,故可取n=(1,-,)(9分)

  <n·>=(11分)

  所以,直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.(12分)


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為( 。
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1CC1所成的角為a,則sina=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E、G分別是AB、BB1、AC1的中點(diǎn),AB=BB1=2.
(Ⅰ)在棱B1C1上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅱ)求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(Ⅲ)求B1到截面DEG的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AB=2,M是AC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AA1上,AN=
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(Ⅰ)求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大;
(Ⅱ)求二面角C1-BM-C的正切值;
(Ⅲ)證明MN⊥BC1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)如圖,在正三棱柱ABC一DEF中,AB=2,AD=1,P是CF的延長線上一點(diǎn),過A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M,交EF于N.
(I)求證:MN∥平面CDE:
(II)當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí),求三梭臺(tái)MNF-ABC的體積.

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