Question

已知二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，設(shè)向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為m，由于二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，可得函數(shù)
f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．而

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos2x+2≥1，對(duì) m分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：設(shè)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為m，
∵二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
∵

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos2x+2≥1，
①當(dāng)m＞0時(shí)，∵f（x）在x≥1內(nèi)是增函數(shù)，
不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）?2sin²x+1＞cos2x+2，化為cos2x＜0，
2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3π

4

．
②當(dāng)m＜0時(shí)，∵f（x）在x≥1內(nèi)是減函數(shù)．
同理可得0≤x＜

π

4

或

3π

4

＜x≤π，k∈Z．
綜上不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集是：
當(dāng)m＞0時(shí)，為{x|

π

4

＜x＜

3π

4

}；
當(dāng)m＜時(shí)，為{x|0≤x＜

π

4

或

3π

4

＜x≤π，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積運(yùn)算，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．