Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

x+2

（x＞0），定義f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，當(dāng)n∈N⁺且n≥2時(shí)，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n為正整數(shù)），則f₃（x）=

 

；f_n（x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別計(jì)算出f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，分析不等式的構(gòu)成，尋找規(guī)律，進(jìn)行歸納．

解答： 解：∵函數(shù)f₁（x）=f(x)=

x

x+2

(x＞0)，n≥2時(shí)，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n為正整數(shù)），
∴f₂（x）=f（f₁（x））=

x x+2

x x+2 +2

=

x

3x+4

，
f₃（x）=f（f₂（x））=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
同理可得f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
所給的函數(shù)式的分子不變都是x，
而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數(shù)分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，
第二部分的數(shù)分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

(2n-1)x+2n

，
故答案為：

x

7x+8

，

x

(2n-1)x+2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，實(shí)際上可看作給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．