已知b>-1,c>0,函數(shù)f(x)=x+b的圖像與函數(shù)g(x)=x2+bx+c的圖像相切.

1)求bc的關(guān)系式(用c表示b);

2)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)g(x)(-¥,+¥)內(nèi)有極值點(diǎn),求c的取值范圍.

答案:
解析:

本小題考查導(dǎo)數(shù)、切線、極值等知識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力

解:(1)依題意,令f(x)=g¢(x),得2x+b=1,故x=

由于,得(b+1)2=4c

b>-1,c>0,∴ b=-1+

(2)F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc

F¢(x)=3x2+4bx+b2+c.令F¢(x)=0,即3x2+4bx+b2+c=0.

則D=16b2-12(b2+c)=4(b2-3c)

若D=0,則F¢(x)=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根x0,且F¢(x)的變化如下:

x

(-¥,x0)

x0

(x0,+¥)

F¢(x)

+

0

+

于是x=x0不是函數(shù)F(x)的極值點(diǎn).

若D>0,則F¢(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x2(x1<x2),且F¢(x)的變化如下:

x

(-¥,x1)

x1

(x1,x2)

x2

(x2,+¥)

F¢(x)

+

0

-

0

+

由此x=x1是函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn),是x=x2函數(shù)F(x)的極小值點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)D>0時(shí),函數(shù)F(x)在(-¥,+¥)上有極值點(diǎn).

由D=4(b2-3c)>0得b<b>

b=-1+,∴ -1+<或-1+>

解之得0<c<7-c>7+

故所求c的取值范圍是(0,7-)∪(7+,+¥)


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