Question

（12分）已知{a_n}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆＝55，a₂＋a₇＝16。

（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；

（2）若數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}滿足等式：a_n＝＋＋＋……＋，（nN₊），

求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n。

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n＝a₃＋(n－3)d＝2n－1；（2）當(dāng)n＝1時，S₁＝b₁＝2

 當(dāng)n≥2時，S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n ＝2＋＝2^n＋2－6

【解析】求一個數(shù)列的前n項和應(yīng)該先求出數(shù)列的通項，利用通項的特點，然后選擇合適的求和的方法．

（1）將已知條件a₃a₆=55，a₂+a₇=16，利用等差數(shù)列的通項公式用首項與公差表示，列出方程組，求出首項與公差，進一步求出數(shù)列{an}的通項公式

（2）將已知等式仿寫出一個新等式，兩個式子相減求出數(shù)列{bn}的通項，利用等比數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項和Sn．

解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得：a₂＋a₇＝a₃＋a₆

∴，解得：或

∵{a_n}的公差大于0   ∴{a_n}單增數(shù)列

∴a₃＝5，a₆＝11      ∴公差d＝＝＝2

∴a_n＝a₃＋(n－3)d＝2n－1

   （2）當(dāng)n＝1時，a₁＝    ∴b₁＝2

     當(dāng)n≥2時，a_n＝＋＋＋…＋

    a_n－1＝＋＋＋…＋

    兩式相減得：a_n－a _n－1＝

   ∴b_n＝2^n＋1，n≥2

 ∴當(dāng)n＝1時，S₁＝b₁＝2

 當(dāng)n≥2時，S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n

 ＝2＋＝2^n＋2－6