如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中點,求證:
(Ⅰ)A1C∥平面BDE;
(Ⅱ)平面A1AC⊥平面BDE.
分析:(Ⅰ)連接AC交BD于O,連接EO,△A1AC中利用中位線,得EO∥A1C.再結合線面平行的判定定理,可得A1C∥平面BDE;
(II)根據(jù)正方體的側棱垂直于底面,結合線面垂直的定義,得到AA1⊥BD.再結合正方形的對角線互相垂直,得到AC⊥BD,從而得到BD⊥平面A1AC,最后利用面面垂直的判定定理,可以證出平面A1AC⊥平面BDE.
解答:證明:(Ⅰ)連接AC交BD于O,連接EO,
∵E為AA1的中點,O為AC的中點
∴EO為△A1AC的中位線
∴EO∥A1C
又∵EO?平面BDE,A1C?平面BDE
∴A1C∥平面BDE;…(6分)
(Ⅱ)∵AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD
∴AA1⊥BD
又∵四邊形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,
∵AA1∩AC=A,AA1、AC?平面A1AC
∴BD⊥平面A1AC
又∵BD?平面BDE
∴平面A1AC⊥平面BDE.…(12分)
點評:本題以正方體為例,要求我們證明線面平行和面面垂直,著重考查了空間直線與平面的位置關系和平面與平面位置關系等知識點,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)若Rt△ABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h,則
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,記M=
1
PO2
,N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
,那么M、N的大小關系是
 

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精英家教網(wǎng)如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,記M=
1
PO2
,N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
,那么M,N的大小關系是
 

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精英家教網(wǎng)若Rt△ABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h,則
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
,如圖,在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC,PO為棱錐的高,類比平面幾何中的結論,得到此三棱錐中的一個正確結論為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,
(1)求證:AC⊥平面D1DB;
(2)BD1∥平面ABC.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是上底面A1B1C1D1內一動點,則三棱錐P-ABC的主視圖與左視圖的面積的比值為( 。

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