Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點，求證：
（Ⅰ）A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）平面A₁AC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO，△A₁AC中利用中位線，得EO∥A₁C．再結合線面平行的判定定理，可得A₁C∥平面BDE；
（II）根據(jù)正方體的側棱垂直于底面，結合線面垂直的定義，得到AA₁⊥BD．再結合正方形的對角線互相垂直，得到AC⊥BD，從而得到BD⊥平面A₁AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以證出平面A₁AC⊥平面BDE．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO，
∵E為AA₁的中點，O為AC的中點
∴EO為△A₁AC的中位線
∴EO∥A₁C
又∵EO?平面BDE，A₁C?平面BDE
∴A₁C∥平面BDE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴AA₁⊥BD
又∵四邊形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
∵AA₁∩AC=A，AA₁、AC?平面A₁AC
∴BD⊥平面A₁AC
又∵BD?平面BDE
∴平面A₁AC⊥平面BDE．…（12分）

點評：本題以正方體為例，要求我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了空間直線與平面的位置關系和平面與平面位置關系等知識點，屬于基礎題．