Question

 

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分別是AB，PC的中點。

（1）求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大�。�

（2）求證：MN⊥平面PCD；

（3）當AB的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的可能范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD。

故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°。

（2）如圖，取PD中點E，連結AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點，

∴EN∥CD∥AB  ∴AMNE是平行四邊形   ∴MN∥AE。

在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線。   ∴AE⊥PD。

又CD⊥AD，CD⊥PD  ∴CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，

又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD。  ∴MN⊥平面PCD。

（3）∵AD∥BC，∴∠PCB為異面直線PC，AD所成的角。

由三垂線定理知PB⊥BC，設AB=x(x>0)。∴tan∠PCB==。

又∵∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）。

又∠PCB為銳角，∴∠PCB∈（，），

即異面直線PC，AD所成的角的范圍為（，）。