Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R，設(shè)a≠0，函數(shù)f（x）在開區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，求m、n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用絕對(duì)值的幾何意義，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，）要使函數(shù)在（m，n）上既有最大值又有最小值，則最小值在x=a處取得，最大值在x=

3a

4

處取得，然后根據(jù)條件確定m，n的取值范圍即可．

解答： 解：當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x²+3x|x-a|=4x²-3ax=4（x-

3a

8

）²-

9a2

16

，
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=x²+3x|x-a|=-2x²+3ax=-2（x-

3a

4

）²+

9a2

8

，
要使得函數(shù)f（x）在開區(qū)間（m，n）內(nèi)既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a處取得，最大值在x=

3a

4

處取得；
f（a）=a²，在區(qū)間（-∞，a）內(nèi)，函數(shù)值為a²時(shí)x=

1

2

a，
此時(shí)

a

2

≤m＜

3a

4

；
f（

3a

4

）=

9a2

8

，而在區(qū)間（a，+∞）內(nèi)函數(shù)值為

9a2

8

，
此時(shí)x=

3+3 3

8

a，
∴a＜n≤

3+3 3

8

a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度較大，綜合性較強(qiáng)．